Chapter 2 Real Numbers || Exercise 2.1 || Class 10th RBSE|| 2020-21
RBSE, CBSE & NCERT
Chapter 2 Real Numbers
अध्याय 2 वास्तविक संख्याए
प्रश्नमाला 2. 1
प्रश्न 1.
दर्शाइये कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक संख्या को वर्ग 8q+1 के रूप का होता है जहाँ q एक
धनात्मक पूर्णाक है।
हल:
माना a कोई धनात्मक विषम पूर्णाक है।
हम जानते हैं कि धनात्मक विषम पूर्णांक a =
2n + 1 के रूप को होगा
अतः विषम धनात्मक पूर्णांक संख्या 4 =
2n + 1 होगी।
जहाँ n= 1, 2, 3, ….
प्रश्नानुसार (a)2 = (2n + 1)2
= 4n² + 4n + 1
4n को उभयनिष्ठ लेने पर
= 4n (1 + 1) + 1
संख्या n(n + 1) सदैव धनात्मक सम पूर्णांक ही
प्राप्त होगा।
जहाँ n = 1, 2, 3, …..
अतःn (n + 1) = 29 जहाँ q एक
धनात्मक पूर्णाक है।
अतः (a)² = 4 x 2q + 1
= 8q + 1
अतः विषम धनात्मक पूर्णांक संख्या का वर्ग 8q
+ 1 के रूप का होता है।
इति सिद्धम्
प्रश्न 2.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा दर्शाइये कि किसी भी धनात्मक पूर्णाक संख्या का घन 9q या 9q
+1 या 9q + 8 के रूप का होता है, जहाँ q एक
पूर्णांक संख्या है।
हल:
माना कि कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब यह 3m,
3m + 1 या 3m + 2 के रूप में होगा।
सिद्ध करना है-इनमें से प्रत्येक का घन 9q,
9q + 1 या 9q + 8 के रूप में लिखा जा सकता है।
(3m)³ = 27m³ = 9(3m³)
= 9q जहाँ q= 3m³ है।
तथा (3m + 1)³= (3m)³ + 3(3m)² . 1 + 3(3m) . 12 + 1
= 27m³ + 27m² + 9m + 1
9 को उभयनिष्ठ लेने पर
= 9(3m³ + 3m² + m) + 1
= 9q + 1 जहाँ q = 3m + 3m² + m है।
तथा (3m + 2)³ = (3m)³ + 3(3m)². 2 + 3(3m). 22 + 8
= 27m³ + 54m² + 36m + 8
9 को उभयनिष्ठ लेने पर
= 9(3m + 6m² + 4m) + 8
= 9q + 8 जहाँ q= 3m³ + 6m² +4m है।
अतः स्पष्ट है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक संख्या का धन 9q या 9q
+ 1 या 9q + 8 के रूप का होता है।
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प्रश्न 3.
दर्शाइए कि किसी भी धनात्मक विषम
पूर्णांक संख्या को 6q + 1 या 6q + 3 या 6q
+ 5 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ q एक
धनात्मक पूर्णाक है।
हल:
माना कि a एक धनात्मक विषम पूर्णाक है अब a और b =
6 के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से- a =
6q +r ∵ 0 ≤ r ≤ 6 अतः
सम्भावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 और 5
होंगे। अर्थात् a के मान 6q या 6q
+ 1 या 6q + 2 या 6q + 3 या 6q
+4 या 6q + 5 हो सकते हैं, जहाँ q कोई
भाज्य है। अब चूँकि a एक विषम धनात्मक पूर्णांक है अतः यह 6q,
6q + 2 या 6q + 4 के रूप का नहीं हो सकती क्योंकि ये सभी 2 से
भाज्य होने के कारण सम धनात्मक पूर्णांक हैं । अतः कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q
+ 1 या 60 + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है जहाँ q कोई
पूर्णाक है।
प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्या-युग्मों का यूक्लिड विभाजन विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक (HCF)
ज्ञात
कीजिए—
(i) 210, 55
(ii) 420, 130
(iii) 75, 243
(iv) 135, 225
(v) 196, 38220
(vi) 867, 255
हल:
(i) 210 और 55
यूक्लिड विभाजन
एल्गोरिथ्म
के प्रयोग से-
चरण I— ∵
210 > 55 अतः यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार
210 = 55 x 3 + 45
चरण II— ∵ शेषफल
45
≠ 0 है अतः अब 55 और 45 पर
यूक्लिड प्रमेयिका प्रयुक्त करने पर
55 = 45 x 1 + 10
चरण III— ∵ शेषफल
10
≠ 0 है अतः अब 45 व 10 पर
यूक्लिड प्रमेयिका प्रयुक्त करने पर
45 = 10 x 4 + 5
चरण IV— ∵ शेषफल
5 ≠
0 है अतः अब 10 व 5 पर
यूक्लिड प्रमेयिका प्रयुक्त करने पर।
10 = 5 x 2 + 0
अब शून्य प्राप्त हो जाने पर यह प्रक्रिया समाप्त हो
जायेगी। चरण IV में भाजक 5 है अतः 210 और 55 का HCF
5 है। उत्तर
(ii) 420 और 130
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से-
चरण I— ∵
420 > 130 अतः यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार
420 = 130 x 3 + 30
चरण II— ∵ शेषफल
30
≠ 0 है अतः अब 130 और 30 पर यूक्लिड
प्रमेयिका प्रयुक्त करने पर
130 = 30 x 4 + 10
चरण III— ∵ शेषफल
10
≠ 0 है अतः अब 30 व 10 पर
यूक्लिड प्रमेयिका प्रयुक्त करने पर
30 = 10 x 3 + 0
अब शून्य प्राप्त हो जाने पर यह प्रक्रिया समाप्त हो
जायेगी। चरण III में भाजक 10 है अतः 420 और 130 का HCF
10 है। उत्तर
(iii) 75 और 243
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से-
चरण I— ∵
243 > 75 अतः यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार
243 = 75 x 3 + 8
चरण II— ∵ शेषफल
18
≠ 0 है अतः अब 75 और 18 पर
यूक्लिड प्रमेयिका प्रयुक्त करने पर।
75 = 18 x 4 + 3
चरण III— ∵ शेषफल
3 ≠
0 है अतः अब 18 और 3 पर
यूक्लिड प्रमेयिका प्रयुक्त करने पर।
18 = 3 x 6 + 0
अब शून्य प्राप्त हो जाने पर यह प्रक्रिया समाप्त हो
जायेगी। चरण III में। भाजक 3 है अतः 75 और 243 का HCF
3 है। उत्तर
(iv) 135 और 225
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से-
चरण I— ∵
225 > 135 अतः यूक्लिड प्रमेयिका के अनुसार
225 = 135 x 1 + 90
चरण II— ∵ शेषफल
90
≠ 0 है अतः अब 135 और 90 पर
यूक्लिड प्रमेयिका प्रयुक्त करने पर
135 = 90 x 1 + 45
चरण III— ∵ शेषफल
45
≠ 0 अतः अब 90 व 45 पर यूक्लिड प्रमेय
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